Repaso 1 para el 1ro Septiembre

Ejercicios:

1) Sea M= (2, -1, 3) ; V= (0, 1, 7) ; W= (1, 4, 5)

Realizar las siguientes operaciones :

a) (MxV) x (VxW)

MxV = / i . j . k /
/2 ; -1; 3 / =
/ 0 ; 1; 7/

= [(-1)(7) - (3)(1)] i - [(2)(7) - (3)(0)] j + [(2)(1) - (-1)(0)] k

= [-7 -3] i - [14 - 0] j + [2 + 1] k

= -10 i -14 j + 3 k

VxW = / i . j . k /
/ 0; 1; 7 / =
/ 1; 4; 5/

= [(1)(5) - (7)(4)] i - [(0)(5) - (7)(1)] j + [(0)(5) - (7)(1)] k

= [5 - 28] i - [0 - 7] j + [0 - 1] k

= -23 i +7 j -1 k

(MxV) x (VxW) = / i . j . k /
/-10; -14; 3 / =
/-23; +7; -1 /

= [(-14)(-1) - (3)(7)] i - [(-10)(-1) - (3)(-23)] j + [(-10)(7) - (-14)(-23)] k

= [14 - 21] i - [10 + 69] j + [-70 - 322] k

= -7 i -79 j -392 k

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b) Mx (V - 2W)

-2W= 2(1, 4, 5)

= 2, 8, 10

V-2W = (0, 1, 7) - (2, 8, 10)

= -2, -7, -3

Mx (V - 2W) = / i . j . k /
/2; -1; 3/ =
/-2; -7; -3/

=[(-1)(-3) - (3)(-7)] i - [(2)(-3) - (-3)(-2)] j + [(2)(-7) - (-1)(-2)] k

= [3 + 21] i - [-6 + 6] j + [-14 - 2] k

= 24 i +0 j -16 k

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

c) (MxV) - 2W)

MxV = / i . j . k /

/2 ; -1; 3 / =

/ 0 ; 1; 7/

= [(-1)(7) - (3)(1)] i - [(2)(7) - (3)(0)] j + [(2)(1) - (-1)(0)] k

= [-7 -3] i - [14 - 0] j + [2 + 1] k

= -10 i -14 j + 3 k

-2W= 2(1, 4, 5)

= 2, 8, 10

(MxV) -2W = (-10, -14, 3) - (2, 8, 10)

= -12 -22 -7

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2) Hallar el área del triángulo que tiene vertices :

P(2, 0, -3) ; Y(1, 4, 5) ; R(7, 2, 9)

A= b x h /2 , A= 1/2 llP Y x PR ll

P Y= X2 - X1 = (1, -4, -8)

P R = X2 - X1 = (-5, -2, -12)

P Y x P R = / i . j . k /

/1; -4; -8 / =

/-5; -2; -12 /

= [ (-4)(-12) - (-8)(-2) ] i - [ (1)(-12) - (-8)(-5) ] j + [(1)(-2) - (-4)(-5)] k

= (48 - 16) i - (-12 - 40) j + (-2 - 20) k

= 32 i + 52 j -22 k

ll P Y x P R ll= √ (32 i)2 + (52 j)2 - (-22 k)2= √ 3244 = 56.95

A= 1/2 llP Y x P R ll = 56.95 /2 = 28.47

Producto Vectorial (cruz)

Producto Vectorial (cruz) :

Si M = (M1, M2, M3) y V = (v1, v2, v3) son vectores en el espacio, entonces el producto vectorial queda determinado por:

MxV = (M2 v3 - M3 v2) ^i , ( M3 v1 - M1 v3) ^j , (M1 v2 - M2 v1) ^k

MxV = / i . j . k /

/ M1 . M2 . M3 / =

/ v1 . v2 . v3 /

= (M2 v3 - v2M3) ^i - (M1 v3 - M3 v1)^j + (M1 v2 - M2 v1)

Hallar el área del triángulo determinado por los puntos :
P1(2, 2, 0) , P2(-1, 0, 2) , P3(0, 4, 3)

A= b x h /2 , A= 1/2 llP1 P2 x P1 P3 ll

P1 P2= X2 - X1 = (-3, -2, 2)
P1 P3 = X2 - X1 = (-2, 2, 3)

P1 P2 x P1 P3 = / i . j . k /
/-3 . -2 . 2 / =
/-2 . 2 . 3 /

= [ (-2)(3) - (2)(2) ] i - [ (-3)(3) - (-2)(2) ] j + [(-3)(2) - (-2)(-2)] k
= (-6 -4) i - (-9 +4) j + (-6 -4) k
= -10 i +5 j -10 k

ll P1P2 x P1P3 ll= √ (-10 i)² + (5 j)² - (10 k)^2
= √225
= 15

A= 1/2 llP1 P2 x P1 P3 ll = 15 /2 = 7.5

Calculo Vectorial

El cálculo vectorial:

Es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multi variable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio.

Por ejemplo:

• La temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura.
• El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)vectorial.
• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Producto Escalar (punto)

El producto escalar:

Es conocido como producto interno o producto punto, es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar.

El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

Si M y V son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y sus ángulos entre ellos es 0 ≤ θ ≤ π entonces:

M . V { //V//V// Cos θ

Si M ≠ 0 , V ≠ 0 ; Si M = 0 , V = 0

//V// = norma de un vector o magnitud de un vector

θ = Cos -1 = M . V ÷ //M// //V//

Ejemplo: Hallar M . V y θ ; Entre M.V

M= (-3, 1, 2) ; V = (4, 2, -5)

M.V = (-3, 1, 2) (4, 2, -5)

= (-3)(4) + (1)(2) + (2)(-5)

= -12 + 2 - 10

M.V = -20

//M// = √ (-3)^{2 +} (1)^{2 +} (2)² = √ 9 + 1+ 4 = √ 14

//V// = √ (4)² + (2)² + (-5)² = √ 16 + 4 + 25 = √ 45

θ = Cos -1 = M . V ÷ //M// //V// = -20 ÷ (√ 45 ) (√ 14)

= -20 ÷ 25.05 = -0.8

Cos -1 (-0.8) = 143º

θ Es agudo si y solo si M . V > 0 (+)

θ Es obtuso si y solo si M . V <>

θ = π / 2 si y solo si M . V = 0

Coordenadas Cartesianas, Cilíndricas y Polar

Las coordenadas cartesianas:

Son un sistema de coordenadas formadas por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Llamaremos a las tres proyecciones x1, x2, x3, y los planos correspondientes los identificaremos por yz, zx, xy.
Es inmedianto que si se mantiene fija una de las tres coordenadas cartesianas, las otras dos definen un plano, que será paralelo a uno de los planos de referencia del triedro sobre el cual se proyecta el vector. El valor de la coordenada que se fija es la distancia entre ambos planos.

Las coordenadas cilíndricas:

Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen

simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana .

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, z ), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano XY
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radio vector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Coordenadas polares:

Son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por un ángulo y una distancia.

El sistema de coordenadas polares es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de expresar en términos de ángulos y distancias.
Al ser un sistema de coordenadas bidimensional, cada punto dentro del plano se encuentra determinado por dos coordenadas: la coordenada radial y la coordenada angular.
La coordenada radial (comúnmente simbolizada por r) expresa la distancia del punto al punto central del sistema conocido como polo (equivalente al origen del sistema Cartesiano).
La coordenada angular (también conocida como ángulo polar o ángulo acimutal, y usualmente simbolizado por θ ó t) expresa el ángulo positivo (es decir en sentido anti horario) medido desde el eje polar (usualmente se hace coincidir este con el eje x del sistema cartesiano).