Derivada Direccional (gradiente)

Derivada Direccional

Para indicar una dirección se utiliza el concepto de vector unitario que forma un ángulo de medidaθ radiantes con la parte positiva del eje x

µ= Cosθ i + Senθj

La derivada direccional puede expresarse con el producto punto de dos vectores

f(x) (x, y) Cosθ + f(y) (x, y) Sen θ = (Cosθ i + Senθ j) *[f(x) (x,y) i + f(y) (x, y) j]

En donde el término derecho se denomina gradiente de la función f , el símbolo para su representación es Vf* o gradf

Definición: si f es una función de dos variables x,y y fx, fy existen, entonces el gradiente f, esta dado por :

V f(x, y) = f(x) (x,y) i + f(y) (x,y) j

DM f (x,y) = µ * Vf (x,y)

µ= vector unitario

Vf (x,y) = gradiente

Ejemplo:

Si f(x,y) = x² /16 + y² /9

a) Determinar el gradiente de f en R(4, 3)

f(x,y) = x² /16 + y² /9

f'x (x,y) = 2x /16 + 0 ; f'y (x,y) = 0 + 2y /9

V f (x,y) = x/8 i + 2y /9 j

V f (4, 3) = 4/8 i + 2(3)/9 j = 1/2 i + 2/3 j

b) Calcular la derivada diferencial de f en R en la direccion de R a Q(5, 6)

V(RQ) = R(4,3) ; Q(5, 6)

V(RQ) = (5 - 4) i + (6 - 3) j = 1 i + 3 j

El vector unitario en la dirección de V es :

U = V (RQ) / ll V(RQ) ll = 1/√10 i + 3 /√10 j

DM f(4, 3) = U*V f (4, 3) = (1/√10 i + 3 /√10 j) * (1/2 i + 2/3 j) = 1/2√10 + 2/√10

= 5/2√10 = 0.77

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2. Hallar las ecuaciones en coordenadas rectángulares para:

P= Cos Ec φ

(√ x² + y² + z² )² = (1/Sen φ)²

x² + y² + z² = 1/Sen² φ Identidad Trigonometrica

x² + y² + z² = 1/1-Cos² φ

(1-Cos² φ) (x² + y² + z²⁾ = 1

( 1- z² /√ x² + y² + z²)² (x² + y² + z²⁾ = 1

(1 - z² / x² + y² + z²) (x² + y² + z²⁾ = 1

[(x² + y² + z²⁾ - z² / x² + y² + z²] (x² + y² + z²⁾ = 1

x² + y²= 1