Apunte - Coordenadas Cilíndricas INCOMPLETO faltan graficas

Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas polares en el plano pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones; Por ejemplo : para trazar la grafica en 2 dimensiones

El sistema de coordenadas polares se puede generalizar a 3 dimensiones,

con coordenadas ( γ, θ, Z) de un punto P.

γ = radio

θ = angulo con respecto a .......

Z =

Relación de coordenadas cilíndricas y cartesianas

Cilíndricas a Cartesianas
X = γ Cos θ
Y = γ Sen θ
Z = Z

Cartesianas a Cilíndricas

γ = √x ² + y ²

Tan -1 θ = y / x
Z = Z

Si r. = constante positiva

Ecuación x ² + y ² = γ²

Gráfica

Si θ. y Z. = constantes

Ecuación de un plano que contiene a Z

GRAFICA

Si Z = Z.

Ecuación de un plano perpendicular a Z

GRAFICA

Coordenadas Esféricas

Al igual que las coordenadas polares pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y trazar una grafica de dos dimensiones. El sistema de coordenadas esféricas se puede definir, en 3 dimensiones, con coordenadas (δ, φ, θ) de un punto P.

δ = //OP//

φ = ángulo entre parte positiva del eje Z y OP

θ = ángulo polar a la proyección P' de P sobre el plano XY

GRAFICA

Relación de coordenadas esférica a cartesiana y viceversa

Esferica a Cartesiana

X = ∫ Sen φ Cos θ

Y = ∫ Sen φ Sen θ

Z = ∫ Cos φ

Cartesianas a Esféricas

δ = √x ² + y ² + z²

Tan -1 θ = y / x

Cos φ = z /√x ² + y ² + z²

Ejemplos:

a) Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas cilíndricas (4, 2π/3, 5)

x = γ Cos θ ; x= 4 Cos (2π/3) = 4(-1/2) = -2

y = γ Sen θ ; y= 4 Sen (2π/3) = 4(2√3/4) = 2√3

z = Z ; z= 5

Las coordenadas cartesianas son (-2, 2√3, 5)

GRAFICA

b) Las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas cartesianas (-5, -5, 2)

γ = √x ² + y ² ; γ = √(-5)² + (-5) ² = √25 + 25 = √50
Tan -1 θ = y / x ; Tan -1 θ = -5 / -5 = 1 = 45º = π/4

Z = Z ; Z= 2

Las coordenas cilíndricas son (√50, π/4, 2)

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1.- Encontrar una ecuación en coordenadas rectángulares (cartesianas) de las siguientes coordenadas cilíndricas, Graficar en dimensiones:

a) Z= 4γ²

como γ = √x ² + y ² Sustituimos

z= 4 γ (x ² + y ²) = 4x ² + 4y ²

Gráfica

Si hacemos x=0 tenemos

Z= 4γ² parábola en plano (y, z)

Si hacemos y=0 tenemos

Z= 4x² parábola en (x, z)

Si hacemos Z=4 tenemos

4 = 4x ² + 4y ² (÷ 4)

1 = x ² + y ² circunferencia con centro en el origen

.

b) γ= 4 Sen θ --> multiplicamos ambos miembros por R

r² = 4y Sen θ

Si tenemos

r² = x² + y²

y =γ Sen θ

Sustituimos :

x² + y² = 4y Ecuac. cartesianas

x² + y² - 4y= 0 C.T.C.P

x² + y²-4y + (4/2)² = (4/2)²

x² + y²-4y +4 = 4

.

x² + (y - 2)² =4 , Circunferencia fuera del origen

C(0, 2) ; r=2

GRAFICA

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2.- Determinar las coordenadas cartesianas del punto P con coordenadas esféricas(8, 2π/3, π/3)

x= 8 Sen 2π/3 Cos π/3 = 8 (√3/2) (1/2) = 2√3 = 3.46

y= o Sen 2π/3 Sen π/3 = 8 (√3/2) (√3/2) = 6

z= 8 Cos 2π/3 = 8 (-1/2) = -4

Las coordenadas cartesianas son: (2√3, 6, -4)

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3.- Describir la gráfica de ∫ = 2Cos φ ; Si multiplicamos a ambos miembros por ∫ , tenemos:

∫² = 2Cos φ

Como tenemos las equivalencias :

∫² = x² + y² +z²

z= ∫ Cos φ

Sustituimos:

x² + y² +z² = 2z

Agrupamos terminos semejantes:

x² + y² +z² -2z = 0 ; C.T.C.P

x² + y² +z² -2z + (2/2)² = (2/2)²

x² + y² +z² -2z +1 = 1 ; T.C.P factorizar

x² + y² + (z - 1)² Ecuación de una esfera fuera del origen

C (0, 0, 1)

GRAFICA