miércoles, 3 de septiembre de 2008

Tarea 2

1.- Cambiar las coordenadas cilíndricas dadas a coordenadas rectángulares
a) (5, π/2, 3)


x= γ Cosθ ; x= 5 Cos π/2 = 5(0) = 0
y= γ Senθ ; y= 5 Sen π/2 = 5 (1) = 5
z= z ; z= 3

(0, 5, 3)



b) (6, π/3, -5)
x= γ Cosθ ; x= 6 Cos π/3 = 6(1/2) = 3
y= γ Senθ ; y= 6 Sen π/3 = 6( √3/2) = 3√3
z= z ; z= -5

(3, 3√3, -5)

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

2.- Cambiar las coordenadas rectángulares a coordenadas esféricas
a) (1, 1, √2)

p= √x² + y² +z² = √(1)² + (1)² + (√2)² = √ 1+ 1 + 2 = √4 =2

tan -1 φ = y/x = 1/1 = 45º

Cos =( z / √x² + y² +z² ) = √2 /√(1)² + (1)² + (√2) = √2 / √ 1+ 1 + 2 = √2 /2 = π/4

(2, 45º , π/4)



b) (1, √3, 0)

p= √x² + y² +z² = √(1)² + (√3)² + (0)² = √ 1+ 1 + 2 = √4 =2

tan -1 φ = y/x = √3/1 = π/3

Cos =( z / √x² + y² +z² ) = 0/√(1)² + (√3)² + (0) = 0 / √ 1+ 3 + 0 = 0 /√4 = 0

(2, π/3, 0)

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

3.- Convertir las coordenadas esféricas dadas a coordenadas cilíndricas
a) (4, π/3, π/3)

Esférica --> Cartesiana

x= ∫ Sen φ Cos φ ; x = 4 Sen π/3 Cos π/3 = 4(0.87) (0.5) = 1.74

y= ∫ Sen φ Sen φ ; y = 4 Sen π/3 Sen π/3 = 4(0.87) (0.87) = 3.02

z= ∫ Cos φ ; z = 4 Cos π/3 = 4(0.5) = 2



Cartesiana --> Cilíndrica

r = √x² + y² = √(1.74)² + (3.02)² = √3.02 + 9.16 = √12.18 = 3.48

tan -1 φ = y/x = 3.02 / 1.74 = 60º

z = z = 2

(3.48, 60º, 2)


b) (2, 5π/6, π/4)

Esférica --> Cartesiana

x= ∫ Sen φ Cos φ ; x = 2 Sen 5π/6 Cos 5π/6 = 2 (0.5) (0.71) = 0.71

y= ∫ Sen φ Sen φ ; y = 2 Sen 5π/6 Sen 5π/6 = 2 (0.5) (0.71) = 0.71

z= ∫ Cos φ ; z = 2 Cos 5π/6 = 2 (0.87) = -1.73

(0.71, 0.71, -1.73)

Cartesiana --> Cilíndrica

r = √x² + y² = √(0.71)² + (0.71)² = √0.5 + 0.5 = √1 = 1

tan -1 φ = y/x = 0.71 / 0.71 = 45º

z = z = -1.73

(1, 45º, -1.73)


-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
4.- Describir la gráfica de la ecuación en 3 dimensiones
a) φ = π/6

z = pCos φ

Cos π/6 = √3/2

z= p √3/2

p= x² + y² + z²

z² = (√x² + y² + z²)² (√3/2)²

z² = (x² + y² + z²) (3/4)

4z² = (x² + y² + z²) (3)

4z² = (3x² +3 y² +3 z²)

3x² +3 y² +3 z²- 4z²= 0

3x² +3 y² - z²= 0

(3, 3, -1)


b) ∫= 4 Cos φ

²= x² + y² + z²

z = ∫ Cos φ

x² + y² + z²= 4z

x² + y² + z² - 4z= 0

x² + y² + z² - 4z + (4/2)² = (4/2)²

x² + y² + z² - 4z + 4 = 4

x² + y² + (z - 2)² =4

(0, 0, 2)


5.- Encontrar una ecuación en coordenadas cilíndricas y una en coordenadas esféricas para la gráfica de la ecuación dada:
a) x² + y² +z² = 4

Esférica

x² + y² + z² = √4 = 2

x² + y² + z² =

∫ = 2


Cilíndrica

r² = (√x² + y²)²

x² + y² + z² = 4

r² = x² + y²

x² + y² = √4

r + z = 2

z= 2- r


b) y² + z² = 9

x² + y² = √9

y + z = 3

tan-1 θ (x + z = 3)

tan-1 θ = Cos / Sen

Cos/Sen θ x + z =3

Cos θ = x/r ; Sen θ = y/r

(x/r) / (y/r) x + z = 3 ; xr/ yr x + 2 = 3

x²/y + z = 3

x² + z = 3y

z= 3y -

z² = 3y² -


No hay comentarios: