Tarea para 12 de sept 08

1) Calcular el gradiente de la función
a) f(x, y) = 4x² - 3xy + y²

fx (x, y) = (8x - 3y) [8x - 3y] i

fy (x, y) = (-3x + 2y) [-3x + 2y] j

V= (8x - 3y) i + (-3x + 2y) j


b) f(x, y, z) = x - y/ x + z






= [ y+ z/ (x - z)² ] i



fy (x, y, z) = (x + z) dy (x - y) - (x - y) dy (x + z) ÷ (x + z) ²

= (x + z) (-1) - (x - y)(0) ÷ (x + z)²

= [ -x -z ÷ (x + z) ² ] j


fz (x, y, z)= (x + z)dz (x - y) - (x - y)dz (x + z) ÷ (x + z) <sup>2

= (x, y)(0) - (x - y) (1)</sup> ÷ (x + z) <sup>2

= [ -x + y</sup> ÷ (x + z) <sup>2] k



V = [</sup> y+ z/ (x - z)² ] i - [ -x -z ÷ (x + z) ² ] j ^{+ [ -x + y} ÷ (x + z) ^{2] k}


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2) Calcular la divergencia y el rotacional del campo vectorial F

a) F(x, y, z) = 6x² i - xy² j


f'(x, y, z) = 12x - 2xy




= (d/dy R - d/dz N) i - (d/dx R - d/dz M) j + (d/dx N - d/dy M) k





= (0 - 0) i - (0 - 0) j + (12x)(-xy²) - (-2xy)(6x²) k

= -12x²y^{2 +} 12x³y



b) F(x, y,z) = Senx i + Cosy j + z² k


f' (x, y, z) = Cos x i - Sen y J + 2z k




= (d/dy R - d/dz N) i - (d/dx R - d/dz M) j + (d/dx N - d/dy M) k


= [(-Sen y) (z²) - (2z)(Cos y)] i - [(Cos x)(z²) - (2z)(Sen x)] j + [(Cos x)(Cos y) - (-Sen y)(Sen x)] k

= -Sen y z² - Cos 2z - Cos x z²- Sen 2z + Cos x Cos y + Sen y Sen x





c) F(x, y, z) = e^x Sen y i - e^x Cos x j en el punto (0, 0, 3)

= e^x Sen y - e^x (-Sen y)


= (d/dy R - d/dz N) i - (d/dx R - d/dz M) j + (d/dx N - d/dy M) k




= [( e^x Sen y)(0) - (0)(e^x Cos y)] i - [(Sen y)(0) - (0)(e^x Sen x)] j + [(Sen y)(-e^x Cos y) - (e^x Sen y)(e^x Sen x)] k

= -e^x Sen y Cos y - e^x Sen y e^x Sen x


P(0, 0,3)
= -e(0) Sen (0) Cos (0) - e(0) Sen (0) e(0) Sen (0)

= 0